|
|
Текст реферата по английскому языку «Математические методы, используемые при моделировании суперколлайдера» (на русском языке).
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ РАН
Р Е Ф Е Р А Т
ПО АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ
Тема
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СУПЕРКОЛЛАЙДЕРА
Выполнил: Аспирант I года
обучения Е.С. Семенов
Преподаватель:
Доц., к.ф.н. Н.И. Смирнова
Научный руководитель:
Зав.лаб., к.ф.-м.н. А.Д. Юнаковский
г. Нижний Новгород
2004 г.
В настоящем реферате проводится обзор методов, которые используются при математическом моделировании суперколлайдера. Под коллайдером здесь понимается ускоритель элементарных частиц. Нас интересуют геометрические параметры, которые обеспечивают оптимальные характеристики прибора. В математической постановке задача моделирования сводится к обратной задаче рассеяния.
Поля в системе удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения Зоммерфельда на бесконечности.
Для поиска нетривиального решения уравнения Гельмгольца используется метод дискретных источников (МДИ). Неизвестная волна H ищется в виде суммы произведений функции Грина нашей задачи в объемлющей области и амплитуд (весов) источников. Подставляя эту сумму в граничное условие для всех точек коллокации на металлической поверхности, получаем систему линейных алгебраических уравнений.
Самое сложное в методе дискретных источников — способ размещения точек коллокации и источников. Вдоль границы точки располагаются регулярно, а на углах используются сдвоенные точки. Дискретные источники размещаются вблизи границы (вне рассматриваемой области) в вершинах равнобедренных треугольников.
Для решения системы линейных алгебраических уравнений, полученной в результате применения метода дискретных источников, существует мощная методика, известная как сингулярное разложение (SVD). Она основана на следующей теореме линейной алгебры: любую матрицу A можно представить в виде произведения ортогональной матрицы U, диагональной матрицы W с неотрицательными элементами (сингулярными значениями), и транспонированной ортогональной матрицы V. Это разложение всегда может быть сделано, независимо от того, является ли матрица сингулярной, причем «почти» единственным образом.
Прежде всего, SVD дает ясную картину ситуации: насколько близка к сингулярной матрица A. Для хорошо обусловленных матриц SVD приводит к тому же результату, что и другие общеизвестные методики, например, LU-разложение. Но кроме того, эта методика позволяет эффективно решать системы однородных линейных алгебраических уравнений в случае, когда исходная матрица является сингулярной, что дает возможность выделить собственную функцию, соответствующую нулевому собственному значению. Для однородных систем уравнений SVD дает нормальное решение, т.е. вектор-решение с минимальной нормой.
Метод граничных интегральных уравнений [7] применим к задаче рассеяния в однородной среде. Для численного решения граничного интегрального уравнения используется метод граничного элемента. Он основан на методе коллокаций Галеркина, который использует в качестве конечных элементов интерполяционные функции малых порядков.
Рассеянная волна удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца и условию излучения Зоммерфельда, которое подавляет отражение волн из бесконечности. В зависимости от типа препятствия, граничное условие может быть задано в виде однородного условия Дирихле или однородного условия Неймана. Задачи Неймана и Дирихле для уравнения Гельмгольца с условием излучения разрешимы единственным образом, причем решение можно представить в виде интеграла вдоль границы области. Известен вид асимптотического приближения рассеянной волны, где поле выражается через «амплитуду рассеяния» f(q), называемую так же «шаблоном» рассеивающей волны.
Теперь опишем обратную задачу. Предположим сначала, что имеется только один рассеиватель W, известный заранее. Рассмотрим достаточно гладкую Жорданову кривую S в W. Подразумевается, что вдоль этой кривой будут измеряться поля, так что итоговое значение uf существует в каждой точке S. Обратная задача рассеяния заключается в поиске формы и расположения рассеивателя W с заданным полем uf на S для одной или более известных падающих волн ui.
Заметим, что шаблон f(z) рассматривается как комплекснозначная функция от комплексного числа z, являясь, при этом, целой функцией. Зная f на элементах единичного круга, мы можем аналитически продолжить f в рассматриваемую область. Поскольку шаблон f(q) непрерывно зависит от формы W, необходимо, чтобы поверхность была гладкой класса С2. Для восстановления шаблона на единичном круге может быть использована полиномиальная интерполяция Лежандра как численное продолжение аналитической функции. Так же для этой цели применяется метод Баккаса-Гильберта.
Для итеративного решения интегральных уравнений в задачах рассеяния используется метод верхней релаксации [6]. Прежде чем получать численные решения электромагнитных задач рассеяния с гармонической по времени падающей волной, попадающей на препятствие, переформулируем данную задачу в терминах эквивалентных интегральных уравнений. Обычно эти уравнения принимают форму граничных интегральных уравнений, где рассеиватель является непроницаемым. Однако в специальном случае однородного проницаемого рассеивателя мы можем получить аналогичные граничные интегральные уравнения.
Итеративные методы решения линейных систем алгебраических уравнений, а также операторных уравнений хорошо известны. Однако только относительно недавно такие методы были применены к интегральным уравнениям, возникающим в классических задачах рассеяния.
Простейшее итеративное решение интегральных уравнений второго рода, получаемое посредством рядов Неймана, также известно как метод итераций Пикара—Пуанкаре—Неймана. К сожалению, этот метод не дает сходимости последовательности приближенных решений для других граничных интегральных уравнений исключая случай, когда рассеиватели работают в пренебрежимо малой области параметров окружающей среды.
Критической особенностью метода является выбор параметра релаксации. Многочисленные дискуссии по этому методу показывают необходимость детальных знаний о спектре оператора для того чтобы эффективно выбрать параметр релаксации. К сожалению, такая точная информация о спектре является, в основном, недоступной, т.к. задача численного поиска спектра в несколько раз сложнее, чем решение исходной задачи. Неправильный выбор параметра релаксации приводит к расходимости последовательности.
Для преодоления этих отрицательных сторон метода предложено при определении параметра релаксации не исследовать предварительно спектр. Не смотря на то, что не доказано, что такой выбор параметра будет гарантировать сходимость в среднем, результаты численных экспериментов демонстрируют сходимость итераций в большинстве случаев. Решающая роль выбора параметра релаксации в определении того, как быстро сходятся итерации, и сходятся ли они вообще, иллюстрируется многочисленными примерами численных расчетов, в которых предложенный выбор близок к оптимальному в большинстве случаев.
Запишем уравнение, которое нужно решить, в виде Lw=g, где L — линейный оператор, действующий в Банаховом пространстве H, а g — заданная функция из H. Итеративная схема является простейшей формой обобщенного метода верхней релаксации Петришина, который является операторно эквивалентным стационарному методу Ричардсона в теории матриц. Определим новый оператор B=I–aL, где a — параметр релаксации. Выберем произвольное w0; все последующие приближенные решения получаются по итерационной формуле wn=B wn–1+a g, n>=1.
Результаты численных экспериментов показывают, что итерации сходятся в большинстве случаев, в то время как итерационная схема Пикара—Пуанкаре—Неймана (т.е. a=1) расходится. Более того, выбор параметра «близок к оптимальному» в том смысле, что количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, близко к минимально возможному.
In my report mathematical methods used for supercollider modeling are consider. Collider is a linear accelerator of elementary particles. We find geometric parameters, which give optimal features of this instrument. Thereby, problem of modeling is reduced to the inverse scattering problem.
The model is governed by the Helmholtz equation for the azimuth component of a magnetic field and the Sommerfeld radiation condition in the infinity.
To find a nontrivial solution of Helmholtz equation, it use the Method of Discrete Sources (MDS). It seek an unknown wave H in the form of the sum of product of the Green function and the amplitudes of sources. Substituting this sum into boundary condition for all collocation points on the metal surface, we obtain a set of linear algebraic equation.
The most complicated stage for Method of Discrete Sources is a way of placement for source point and collocation ones. Using a uniform placement for collocation points on the boundary. A double collocation point is exploited at the boundary edges. Source point are placed near the boundary (outside of the domain considered) at the tops of isosceles triangles.
Now we consider a numerical procedure which can separate a resonance eigenfunction to zero eigenvalue. For this purpose there exists a very powerful technique known as singular value decomposition (SVD). It is based on the following theorem of linear algebra: any matrix A can be written as the product of an orthogonal matrix U, a diagonal matrix W with positive or zero elements (the singular values), and the transpose of an orthogonal matrix V.
This decomposition can always be done, no matter how singular the matrix is, and it is ''almost'' unique (it is unique up to making the same permutations of the columns of U and V and elements of W).
First of all, SVD gives a clear diagnosis of the situation: how close to singular the matrix A is. SVD allows to solve effectively a set of homogeneous linear algebraic equations in case that a matrix is singular.
